1. 拉格朗日多項(xiàng)式插值
拉格朗日插值公式（外文名Lagrange interpolation formula）指的是在節(jié)點(diǎn)上給出節(jié)點(diǎn)基函數(shù)，然后做基函數(shù)的線性組合，組合系數(shù)為節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的一種插值多項(xiàng)式。
線性插值也叫兩點(diǎn)插值，已知函數(shù)y = f (x)在給定互異點(diǎn)x0, x1上的值為y0= f (x0)，y1=f (x1)線性插值就是構(gòu)造一個(gè)一次多項(xiàng)式：P1(x) = ax + b，使它滿足條件：P1 (x0) = y0， P1 (x1) = y1
其幾何解釋就是一條直線，通過(guò)已知點(diǎn)A (x0, y0)，B(x1, y1)。
線性插值計(jì)算方便、應(yīng)用很廣，但由于它是用直線去代替曲線，因而一般要求[x0, x1]比較小，且f（x）在[x0, x1]上變化比較平穩(wěn)，否則線性插值的誤差可能很大。為了克服這一缺點(diǎn)，有時(shí)用簡(jiǎn)單的曲線去近似地代替復(fù)雜的曲線，最簡(jiǎn)單的曲線是二次曲線，用二次曲線去逼近復(fù)雜曲線的情形。[1]
2. 拉格朗日多項(xiàng)式插值實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)論文
拉格朗日插值公式
約瑟夫·拉格朗日發(fā)現(xiàn)的公式
拉格朗日插值公式線性插值也叫兩點(diǎn)插值，已知函數(shù)y = f (x)在給定互異點(diǎn)x0, x1上的值為y0= f (x0)，y1=f (x1)線性插值就是構(gòu)造一個(gè)一次多項(xiàng)式P1(x) = ax + b使它滿足條件P1 (x0) = y0 P1 (x1) = y1其幾何解釋就是一條直線，通過(guò)已知點(diǎn)A (x0, y0)，B(x1, y1)。
3. 拉格朗日多項(xiàng)式插值法
一、拉格朗日插值法
是以法國(guó)十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一種多項(xiàng)式插值方法。許多實(shí)際問(wèn)題中都用函數(shù)來(lái)表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律，而不少函數(shù)都只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)來(lái)了解。如對(duì)實(shí)踐中的某個(gè)物理量進(jìn)行觀測(cè)，在若干個(gè)不同的地方得到相應(yīng)的觀測(cè)值，拉格朗日插值法可以找到一個(gè)多項(xiàng)式，其恰好在各個(gè)觀測(cè)的點(diǎn)取到觀測(cè)到的值。這樣的多項(xiàng)式稱為拉格朗日（插值）多項(xiàng)式。
二、Lagrange基本公式：
拉格朗日插值公式，設(shè)，y=f(x)，且xi< x < xi+1，i=0，1，…，n-1，有：
Lagrange插值公式計(jì)算時(shí)，其x取值可以不等間隔。由于y=f(x)所描述的曲線通過(guò)所有取值點(diǎn)，因此，對(duì)有噪聲的數(shù)據(jù)，此方法不可取。
一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于次數(shù)較高的插值多項(xiàng)式，在插值區(qū)間的中間，插值多項(xiàng)式能較好地逼近函數(shù)y=f(x)，但在遠(yuǎn)離中間部分時(shí)，插值多項(xiàng)式與y=f(x)的差異就比較大，越靠近端點(diǎn)，其逼近效果就越差。
三、C++實(shí)現(xiàn)
#include <iostream>
#include <conio.h>
#include <malloc.h>
double lagrange(double *x,double *y,double xx,int n)/*拉格朗日插值算法*/
{
int i,j;
double *a,yy=0.0;/*a作為臨時(shí)變量，記錄拉格朗日插值多項(xiàng)式*/
a=(double *)malloc(n*sizeof(double));
for(i=0;i<=n-1;i++)
{
a[i]=y[i];
for(j=0;j<=n-1;j++)
if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]);
yy+=a[i];
}
free(a);
return yy;
}
/
int main()
{
int i;
int n;
double x[20],y[20],xx,yy;
printf("Input n:");
scanf("%d",&n);
if(n>=20)
{
printf("Error!The value of n must in (0,20).");
getch();
return 1;
}
if(n<=0)
{
printf("Error! The value of n must in (0,20).");
getch();
return 1;
}
for(i=0;i<=n-1;i++)
{
printf("x[%d]:",i);
scanf("%lf",&x[i]);
}
printf("\n");
for(i=0;i<=n-1;i++)
{
printf("y[%d]:",i);
scanf("%lf",&y[i]);
}
printf("\n");
printf("Input?xx:");
scanf("%lf",&xx);
yy=lagrange(x,y,xx,n);
printf("x=%.13f,y=%.13f\n",xx,yy);
getch();
}
4. 拉格朗日多項(xiàng)式插值法例題
線性插值也叫兩點(diǎn)插值，已知函數(shù)y = f (x)在給定互異點(diǎn)x0, x1上的值為y0= f (x0)，y1=f (x1)線性插值就是構(gòu)造一個(gè)一次多項(xiàng)式：P1(x) = ax + b，使它滿足條件：P1 (x0) = y0， P1 (x1) = y1 其幾何解釋就是一條直線，通過(guò)已知點(diǎn)A (x0, y0)，B(x1, y1)
5. 拉格朗日多項(xiàng)式插值,節(jié)點(diǎn)越多,誤差越小
拉格朗日插值是一種多項(xiàng)式插值方法。是利用最小次數(shù)的多項(xiàng)式來(lái)構(gòu)建一條光滑的曲線，使曲線通過(guò)所有的已知點(diǎn)。
例如，已知如下3點(diǎn)的坐標(biāo):(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).那么結(jié)果是:y=y1 L1+y2 L2+y3 L3,L1=(x-x2)(x-x3)/((x1-x2)(x1-x3)),L2=(x-x1)(x-x3)/((x2-x1)(x2-x3)),L3=(x-x1)(x-x2)/((x3-x1)(x3-x2)).
6. 拉格朗日多項(xiàng)式插值余項(xiàng)
線性插值也叫兩點(diǎn)插值，已知函數(shù)y = f (x)在給定互異點(diǎn)x0, x1上的值為y0= f (x0)，y1=f (x1)線性插值就是構(gòu)造一個(gè)一次多項(xiàng)式：P1(x) = ax + b，使它滿足條件：P1 (x0) = y0， P1 (x1) = y1
其幾何解釋就是一條直線，通過(guò)已知點(diǎn)A (x0, y0)，B(x1, y1)。
線性插值計(jì)算方便、應(yīng)用很廣，但由于它是用直線去代替曲線，因而一般要求[x0, x1]比較小，且f（x）在[x0, x1]上變化比較平穩(wěn)，否則線性插值的誤差可能很大。為了克服這一缺點(diǎn)，有時(shí)用簡(jiǎn)單的曲線去近似地代替復(fù)雜的曲線，最簡(jiǎn)單的曲線是二次曲線，用二次曲線去逼近復(fù)雜曲線的情形。
7. 拉格朗日多項(xiàng)式插值法推導(dǎo)
構(gòu)造一組插值基函數(shù).”就是構(gòu)造一個(gè)函數(shù),這個(gè)函數(shù)在其中一點(diǎn)的值為1,其它點(diǎn)的值為0。這樣的話把n個(gè)這樣的函數(shù)加權(quán)加起來(lái)得到的函數(shù)就是在每個(gè)點(diǎn)上的值都是需要的了
8. 拉格朗日多項(xiàng)式插值.c
構(gòu)造函數(shù)4a+b+m(a^2+b^2+c^2-3)
對(duì)函數(shù)求偏導(dǎo)并令其等于0
4+2ma=0
1+2mb=0
2mc=0
同時(shí)a^2+b^2+c^2=3
所以
m=根號(hào)17/2根號(hào)3
a=-4根號(hào)3/根號(hào)17
b=-根號(hào)3/根號(hào)17
4a+b=-根號(hào)51
1、是求極值的,不是求最值的
2、如果要求最值,要把極值點(diǎn)的函數(shù)值和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值還有端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行比較
3、書上說(shuō)是可能的極值點(diǎn),這個(gè)沒(méi)錯(cuò),比如f(x)=x^3,在x=0點(diǎn)導(dǎo)數(shù)確實(shí)為0,但是不是極值點(diǎn),所以是可能的極值點(diǎn),到底是不是要帶入原函數(shù)再看
9. 拉格朗日多項(xiàng)式插值的優(yōu)缺點(diǎn)
在數(shù)值分析中，拉格朗日插值法是以法國(guó)十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫·拉格朗日命名的一種多項(xiàng)式插值方法。
許多實(shí)際問(wèn)題中都用函數(shù)來(lái)表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律，而不少函數(shù)都只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)來(lái)了解。如對(duì)實(shí)踐中的某個(gè)物理量進(jìn)行觀測(cè)，在若干個(gè)不同的地方得到相應(yīng)的觀測(cè)值，拉格朗日插值法可以找到一個(gè)多項(xiàng)式，其恰好在各個(gè)觀測(cè)的點(diǎn)取到觀測(cè)到的值。