1. 拉格朗日對偶性和KKT條件

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函數f(x)滿足條件：

（1）在閉區間[a,b]上連續；

（2）在開區間(a,b)內可導，則在(a,b)內至少存在一點ξ，使得

顯然，羅爾定理是拉格朗日中值定理當f(a)=f(b)時的特殊情形，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。

2. 拉格朗日乘數法kkt條件

拉格朗日乘數法（以數學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個或多個條件所限制的 多元函數的 極值的方法。

這種方法將一個有n 個變量與k 個 約束條件的最優化問題轉換為一個有n + k個變量的方程組的極值問題，其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標量未知數，即拉格朗日乘數：約束方程的梯度（gradient）的線性組合里每個向量的系數。此方法的證明牽涉到偏微分， 全微分或鏈法，從而找到能讓設出的隱函數的微分為零的未知數的值

3. 拉格朗日對偶函數

約瑟夫·拉格朗日

外文名

Joseph-Louis Lagrange

別名

拉格朗日

性別

男

出生日期

1736年

去世日期

1813年4月10日

國籍

法國

出生地

意大利都靈

職業

數學家

物理學家

代表作品

《關于解數值方程》和《關于方程的代數解法的研究》

主要成就

拉格朗日中值定理等

數學分析的開拓者

4. 拉格朗日乘數法與kkt條件

拉格朗日乘數法是多元微分學中用來求函數z=f(x,y)在滿足g(x,y)=0條件下的極值問題的方法：通過設F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y),其中λ稱為拉格朗日乘數,并求F(x,y)的極值點求得條件極值的方法

5. 拉格朗日對偶問題和對偶問題

首先是我們有不等式約束方程，這就需要我們寫成min max的形式來得到最優解。而這種寫成這種形式對x不能求導，所以我們需要轉換成max min的形式，這時候，x就在里面了，這樣就能對x求導了。

而為了滿足這種對偶變換成立，就需要滿足KKT條件（KKT條件是原問題與對偶問題等價的必要條件，當原問題是凸優化問題時，變為充要條件）。

6. 拉格朗日函數的對偶性

函數需要滿足完整約束。拉格朗日函數是在力學系上只有保守力的作用，是描述整個物理系統的動力狀態的函數。

在分析力學里，假設已知一個系統的拉格朗日函數，則可以將拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加運算，即可求得此系統的運動方程。

在力學系上只有保守力的作用，則力學系及其運動條件就完全可以用拉格朗日函數表示出來。這里說的運動條件是指系統所受的主動力和約束。因此，給定了拉氏函數的明顯形式就等于給出了一個確定的力學系。拉氏函數是力學系的特性函數。