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數(shù)值分析拉格朗日插值(線性拉格朗日插值)

來源:www.mqwn.com.cn???時間:2023-01-03 08:20???點擊:56??編輯:admin 手機版

1. 線性拉格朗日插值

在數(shù)值分析中,拉格朗日插值法是以法國十八世紀數(shù)學(xué)家約瑟夫·拉格朗日命名的一種多項式插值方法。

許多實際問題中都用函數(shù)來表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律,而不少函數(shù)都只能通過實驗和觀測來了解。如對實踐中的某個物理量進行觀測,在若干個不同的地方得到相應(yīng)的觀測值,拉格朗日插值法可以找到一個多項式,其恰好在各個觀測的點取到觀測到的值。

2. 線性插值和拉格朗日插值一樣嗎

一、拉格朗日插值法

是以法國十八世紀數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一種多項式插值方法。許多實際問題中都用函數(shù)來表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律,而不少函數(shù)都只能通過實驗和觀測來了解。如對實踐中的某個物理量進行觀測,在若干個不同的地方得到相應(yīng)的觀測值,拉格朗日插值法可以找到一個多項式,其恰好在各個觀測的點取到觀測到的值。這樣的多項式稱為拉格朗日(插值)多項式。

二、Lagrange基本公式:

拉格朗日插值公式,設(shè),y=f(x),且xi< x < xi+1,i=0,1,…,n-1,有:

Lagrange插值公式計算時,其x取值可以不等間隔。由于y=f(x)所描述的曲線通過所有取值點,因此,對有噪聲的數(shù)據(jù),此方法不可取。

一般來說,對于次數(shù)較高的插值多項式,在插值區(qū)間的中間,插值多項式能較好地逼近函數(shù)y=f(x),但在遠離中間部分時,插值多項式與y=f(x)的差異就比較大,越靠近端點,其逼近效果就越差。

三、C++實現(xiàn)

#include <iostream>

#include <conio.h>

#include <malloc.h>

double lagrange(double *x,double *y,double xx,int n)/*拉格朗日插值算法*/

{

int i,j;

double *a,yy=0.0;/*a作為臨時變量,記錄拉格朗日插值多項式*/

a=(double *)malloc(n*sizeof(double));

for(i=0;i<=n-1;i++)

{

a[i]=y[i];

for(j=0;j<=n-1;j++)

if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]);

yy+=a[i];

}

free(a);

return yy;

}

/

int main()

{

int i;

int n;

double x[20],y[20],xx,yy;

printf("Input n:");

scanf("%d",&n);

if(n>=20)

{

printf("Error!The value of n must in (0,20).");

getch();

return 1;

}

if(n<=0)

{

printf("Error! The value of n must in (0,20).");

getch();

return 1;

}

for(i=0;i<=n-1;i++)

{

printf("x[%d]:",i);

scanf("%lf",&x[i]);

}

printf("\n");

for(i=0;i<=n-1;i++)

{

printf("y[%d]:",i);

scanf("%lf",&y[i]);

}

printf("\n");

printf("Input?xx:");

scanf("%lf",&xx);

yy=lagrange(x,y,xx,n);

printf("x=%.13f,y=%.13f\n",xx,yy);

getch();

}

3. 拉格朗日插值性質(zhì)

在數(shù)學(xué)最優(yōu)化問題中,拉格朗日乘數(shù)法(以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名)是一種尋找變量受一個或多個條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法。這種方法將一個有n 個變量與k 個約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為一個有n + k個變量的方程組的極值問題,其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標量未知數(shù),即拉格朗日乘數(shù):約束方程的梯度(gradient)的線性組合里每個矢量的系數(shù)。

引入新變量拉格朗日乘數(shù),即可求解拉格朗日方程

此方法的證明牽涉到偏微分,全微分或鏈法,從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值。

4. 線性拉格朗日插值估計近似值

不是,是一種分式函數(shù),算初等函數(shù)。但是該內(nèi)容出現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析中。

5. 拉格朗日插值 線性插值

拉格朗日插值法與牛頓插值法都是二種常用的簡便的插值法。但牛頓法插值法則更為簡便,與拉格朗日插值多項式相比較,它不僅克服了“增加一個節(jié)點時整個計算工作必須重新開始”的缺點,而且可以節(jié)省乘、除法運算次數(shù)。

同時,在牛頓插值多項式中用到的差分與差商等概念,又與數(shù)值計算的其他方面有著密切的關(guān)系。所以!!

從運算的角度來說牛頓插值法精確度高從數(shù)學(xué)理論上來說的話,我傾向于拉格朗日大神!!

話說拉格朗日當初不搞天文,不搞物理,專弄數(shù)學(xué),估計是數(shù)學(xué)歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家了,沒有之一。

6. 線性插值與拉格朗日插值的區(qū)別

拉格朗日插值公式

約瑟夫·拉格朗日發(fā)現(xiàn)的公式

拉格朗日插值公式線性插值也叫兩點插值,已知函數(shù)y = f (x)在給定互異點x0, x1上的值為y0= f (x0),y1=f (x1)線性插值就是構(gòu)造一個一次多項式P1(x) = ax + b使它滿足條件P1 (x0) = y0 P1 (x1) = y1其幾何解釋就是一條直線,通過已知點A (x0, y0),B(x1, y1)。

7. 線性拉格朗日插值公式

線性插值也叫兩點插值,已知函數(shù)y = f (x)在給定互異點x0, x1上的值為y0= f (x0),y1=f (x1)線性插值就是構(gòu)造一個一次多項式:P1(x) = ax + b,使它滿足條件:P1 (x0) = y0, P1 (x1) = y1 其幾何解釋就是一條直線,通過已知點A (x0, y0),B(x1, y1)

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