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拉格朗日求極值例題(拉格朗日求極值的題型)

來源:www.mqwn.com.cn???時間:2023-01-06 13:28???點擊:299??編輯:admin 手機(jī)版

1. 拉格朗日求極值的題型

對于無約束條件的函數(shù)求極值,主要利用導(dǎo)數(shù)求解法

例如求解函數(shù)f(x,y)=x3-4x2+2xy-y2+1的極值。步驟如下:

(1)求出f(x,y)的一階偏導(dǎo)函數(shù)f’x(x,y),f’y(x,y)。

f’x(x,y) = 3x2-8x+2y

f’y(x,y) = 2x-2y

(2)令f’x(x,y)=0,f’y(x,y)=0,解方程組。

3x2-8x+2y = 0

2x-2y = 0

得到解為(0,0),(2,2)。這兩個解是f(x,y)的極值點。

2. 拉格朗日定理求極值

這個定理是高數(shù)中比較基礎(chǔ)且比較難的問題。一般是證明題中運用得比較多。比如說證明一個不等式。需要用到公式中的,切記這個是滿足區(qū)間中的任意數(shù),要正確理解任意的含義。 舉一個證明的列子,書上也出現(xiàn)過的。證明(b-a)/b<lnb-lna<(b-a)/a要正確證明這個題,要先構(gòu)造一個函數(shù)f(x)=lnx,然后運用拉格朗日中值定理。

3. 有條件求極值拉格朗日

構(gòu)造函數(shù)4a+b+m(a^2+b^2+c^2-3)

對函數(shù)求偏導(dǎo)并令其等于0

4+2ma=0

1+2mb=0

2mc=0

同時a^2+b^2+c^2=3

所以

m=根號17/2根號3

a=-4根號3/根號17

b=-根號3/根號17

4a+b=-根號51

1、是求極值的,不是求最值的

2、如果要求最值,要把極值點的函數(shù)值和不可導(dǎo)點的函數(shù)值還有端點函數(shù)值進(jìn)行比較

3、書上說是可能的極值點,這個沒錯,比如f(x)=x^3,在x=0點導(dǎo)數(shù)確實為0,但是不是極值點,所以是可能的極值點,到底是不是要帶入原函數(shù)再看

4. 拉格朗日求最值的題型

拉格朗日出生在意大利的都靈。由于是長子,父親一心想讓他學(xué)習(xí)法律,然而,拉格朗日對法律毫無興趣,偏偏喜愛上文學(xué)。

直到16歲時,拉格朗日仍十分偏愛文學(xué),對數(shù)學(xué)尚未產(chǎn)生興趣。16歲那年,他偶然讀到一篇介紹牛頓微積分的文章《論分析方法的優(yōu)點》,使他對牛頓產(chǎn)生了無限崇拜和敬仰之情,于是,他下決心要成為牛頓式的數(shù)學(xué)家。

在進(jìn)入都靈皇家炮兵學(xué)院學(xué)習(xí)后,拉格朗日開始有計劃地自學(xué)數(shù)學(xué)。由于勤奮刻苦,他的進(jìn)步很快,尚未畢業(yè)就擔(dān)任了該校的數(shù)學(xué)教學(xué)工作。20歲時就被正式聘任為該校的數(shù)學(xué)副教授。從這一年起,拉格朗日開始研究“極大和極小”的問題。他采用的是純分析的方法。1758年8月,他把自己的研究方法寫信告訴了歐拉,歐拉對此給予了極高的評價。從此,兩位大師開始頻繁通信,就在這一來一往中,誕生了數(shù)學(xué)的一個新的分支——變分法。

1759年,在歐拉的推薦下,拉格朗日被提名為柏林科學(xué)院的通訊院士。接著,他又當(dāng)選為該院的外國院士。

1762年,法國科學(xué)院懸賞征解有關(guān)月球何以自轉(zhuǎn),以及自轉(zhuǎn)時總是以同一面對著地球的難題。拉格朗日寫出一篇出色的論文,成功地解決了這一問題,并獲得了科學(xué)院的大獎。拉格朗日的名字因此傳遍了整個歐洲,引起世人的矚目。兩年之后,法國科學(xué)院又提出了木星的4個衛(wèi)星和太陽之間的攝動問題的所謂“六體問題”。面對這一難題,拉格朗日毫不畏懼,經(jīng)過數(shù)個不眠之夜,他終于用近似解法找到了答案,從而再度獲獎。這次獲獎,使他贏得了世界性的聲譽(yù)。

1766年,拉格朗日接替歐拉擔(dān)任柏林科學(xué)院物理數(shù)學(xué)所所長。在擔(dān)任所長的20年中,拉格朗日發(fā)表了許多論文,并多次獲得法國科學(xué)院的大獎:1722年,其論文《論三體問題》獲獎;1773年,其論文《論月球的長期方程》再次獲獎;1779年,拉格朗日又因論文《由行星活動的試驗來研究彗星的攝動理論》而獲得雙倍獎金。

在柏林科學(xué)院工作期間,拉格朗日對代數(shù)、數(shù)論、微分方程、變分法和力學(xué)等方面進(jìn)行了廣泛而深入的研究。他最有價值的貢獻(xiàn)之一是在方程論方面。他的“用代數(shù)運算解一般n次方程(n4)是不能的”結(jié)論,可以說是伽羅華建立群論的基礎(chǔ)。

5. 拉格朗日法求極限例題

拉格朗日乘數(shù)法(以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名)是一種尋找變量受一個或多個條件所限制的 多元函數(shù)的 極值的方法。

這種方法將一個有n 個變量與k 個 約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為一個有n + k個變量的方程組的極值問題,其變量不受任何約束。

這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù),即拉格朗日乘數(shù):約束方程的梯度(gradient)的線性組合里每個向量的系數(shù)。

此方法的證明牽涉到偏微分, 全微分或鏈法,從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值。

6. 拉格朗日法求極值快速求解

拉格朗日乘數(shù)法是多元微分學(xué)中用來求函數(shù)z=f(x,y)在滿足g(x,y)=0條件下的極值問題的方法:通過設(shè)F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y),其中λ稱為拉格朗日乘數(shù),并求F(x,y)的極值點求得條件極值的方法

7. 拉格朗日求極值的例題

拉格朗日中值定理可以看成是中間有點的導(dǎo)數(shù)值等于連接起點終點直線的斜率,就是中間那一點的切線斜率等于連接那兩點直線的斜率(就是平行了)

8. 拉格朗日不等式求極值

這里用的是導(dǎo)數(shù)的定義,不是拉格朗日中值定理,雖然有點象,但其本質(zhì)是不一樣的。當(dāng)然,拉格拉日中值定理只要原函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)就可以了,沒有要求導(dǎo)函數(shù)一定要連續(xù)

9. 什么時候用拉格朗日求極值

判斷是極大值還是極小值點,一個初步的方法是依靠經(jīng)驗和對問題的認(rèn)識。當(dāng)不能作出有效判斷時,可以求取函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷,其實一個簡單的方法是比較該極值點的函數(shù)值與相鄰點的函數(shù)來作出判斷。

至于存在不能化為無條件極值的問題,一般是先不管約束條件建立求解極值點的方程,然后再限制在約束條件下求出最后解答,具體的過程,建議參看變分原理等數(shù)學(xué)或力學(xué)書籍,如《計算動力學(xué)》中就有提到,不過這本書不是純粹的數(shù)學(xué)推演。

10. 拉格朗日乘數(shù)法求條件極值例題

拉格朗日乘數(shù)的數(shù)值是按照實際演算獲取的,不排除為0的可能性。根據(jù)推導(dǎo)過程可知,λ是不可以等于0的。

1.如果等于0,f對x求導(dǎo),就是原函數(shù)對x求導(dǎo)

2.f對y求導(dǎo),就是原函數(shù)對y求導(dǎo)

3.上面兩個式子一般是不可能解出來的 由拉格朗日乘數(shù)法的推導(dǎo)過程可以看出,λ≠0,否則駐點(x0,y0)滿足的式子就變成了

4.f對x的偏導(dǎo)=0

5.f對y的偏導(dǎo)=0

6.f對λ的偏導(dǎo)=0

7.前面兩個式子一般是不成立的。

8.求z=xy^2在x^2+y^2=1下的極值?一般應(yīng)該是求最大值、最小值!

9.一種方法是化成一元函數(shù)的極值z=x(1-x^2),-1≤x≤1.

10.用拉格朗日乘數(shù)法的話,設(shè)L(x,y)=xy^2+λ(x^2+y^2-1),解方程組

11.y^2+2λx=0

12.2xy+2λy=0

13.x^2+y^2=1

14.前兩個方程求出x=-λ,y^2=2λ^2,代入第三個式子得λ=±1/√3,所以x=±1/√3,y=±√(2/3),比較4個駐點處的函數(shù)值可得最大值和最小值

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