1. 帶拉格朗日泰勒展開式

拉格朗日（Lagrange）余項： ，其中θ∈（0,1）。 拉格朗日余項實際是泰勒公式展開式與原式之間的一個誤差值，如果其值為無窮小，則表明公式展開足夠準確。 證明： 根據柯西中值定理： 其中θ1在x和x0之間；繼續使用柯西中值定理得到： 其中θ2在θ1和x0之間；連續使用n+1次后得到： 其中θ在x和x0之間；

2. 帶拉格朗日余項的泰勒展開式

線性插值也叫兩點插值，已知函數y = f (x)在給定互異點x0, x1上的值為y0= f (x0)，y1=f (x1)線性插值就是構造一個一次多項式：P1(x) = ax + b，使它滿足條件：P1 (x0) = y0， P1 (x1) = y1

其幾何解釋就是一條直線，通過已知點A (x0, y0)，B(x1, y1)。

線性插值計算方便、應用很廣，但由于它是用直線去代替曲線，因而一般要求[x0, x1]比較小，且f（x）在[x0, x1]上變化比較平穩，否則線性插值的誤差可能很大。為了克服這一缺點，有時用簡單的曲線去近似地代替復雜的曲線，最簡單的曲線是二次曲線，用二次曲線去逼近復雜曲線的情形。

3. 拉格朗日型泰勒展開

f(x)=x^(1/2) f(4)=2 f'(x)=1/2 x^(-1/2) f'(4)=1/4f''(x)=-1/2^

2 x^(-3/2) f''(4)=-1/2^5f'''(x)=3/2^3 x^(-5/2) f'''(4)=3/2^8f''''(x)=-3*5/2^4 x^(-7/2)∴函數f（x）＝√x按（x－4）的冪展開的帶有拉格朗日型余項的3階泰勒公式:√x=2+1/4(x-4)-1/2^6(x-4)^2+1/2^9(x-4)^3-5/2^7(4+θx)^(-7/2)(x-4)^4

4. 含拉格朗日余項的泰勒展開式

拉格朗日（Lagrange）余項： ，其中θ∈（0,1）。 拉格朗日余項實際是泰勒公式展開式與原式之間的一個誤差值，如果其值為無窮小，則表明公式展開足夠準確。 證明： 根據柯西中值定理： 其中θ1在x和x0之間；繼續使用柯西中值定理得到： 其中θ2在θ1和x0之間；連續使用n+1次后得到： 其中θ在x和x0之間；同時： 進而： 綜上可得：

5. ex的拉格朗日泰勒展開式

拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微分學中的基本定理之一，它反映了可導函數在閉區間上的整體的平均變化率與區間內某點的局部變化率的關系。

6. 特殊的泰勒展開式

被稱為管理學之父

弗雷德里克·溫斯洛·泰勒（1856年3月20日—1915年3月21日），美國著名管理學家，經濟學家，被后世稱為“科學管理之父”。出生于費城一有名律師家庭的泰勒，從小生活富足，并接受了良好的教育。

1874年，他考入哈佛大學法律系，不久，因眼疾輟學。1875年，他進入費城恩特普里斯水壓工廠當模具工和機工學徒。1878年，他轉入費城米德維爾鋼鐵公司工作。從機械工人做起，歷任車間管理員、小組長、工長、技師等職，他在該廠一直干到1890年。

從1881年開始，他進行了一項“金屬切削試驗”，由此研究出每個金屬切削工人工作日的合理工作量。1898年，泰勒受雇于伯利恒鋼鐵公司期間，進行了著名的“搬運生鐵塊試驗”和“鐵鍬試驗”。

泰勒一生大部分的時間所關注的，就是如何提高生產效率。這不但要降低成本和增加利潤，而且要通過提高勞動生產率增加工人的工資。泰勒在親身的工作中感到了提升工作效率在工廠實踐中的重要性，并且在眾多的實踐中，創立了自己的管理理論——科學管理學說。泰勒的主要著作有：《計件工資制度》（1895年）、《車間管理》（1903年）、《科學管理原理》（1911年）。