1. 第一拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，它反應了可導函數在閉區間上的整體的平均變化率與區間內某點的局部變化率的關系。表達式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(a<ξ<b）。

2. 拉格朗日中值定理ξ唯一

朗格拉日中值定理的中值在兩個端點之間。

3. 敘述拉格朗日中值定理

公式，f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(a<ξ<b）

定義，如果函數f(x)滿足：

（1）在閉區間[a,b]上連續；

（2）在開區間(a,b)內可導；

那么在開區間(a,b)內至少有一點使等式成立。

4. 拉格朗日中值定理在

把拉格朗日定理移項，得f(x)-[f(b)-f(a)]/(b-a)*(x-a)=0，令u(x)等于等號左邊的函數。

于是有u(a)=u(b)=f(a)，這就滿足了羅爾定理。

羅爾定理是：在[a,b]上滿足u(a)=u(b)時，一定存在m屬于（a,b)使u(x)的導數等于0。

這些條件現在都滿足了，而且對u(x)求導后，經過簡單移項，立刻就可得到拉格朗日中值定理的式子。羅爾定理是拉格朗日中值定理在f(a)=f(b)時的特殊情況。

5. 拉格朗日中值定理的理解

人們對拉格朗日中值定理的認識可以上溯到公元前古希臘時代。古希臘數學家在幾何研究中得到如下結論：“過拋物線弓形的頂點的切線必平行于拋物線弓形的底”。這正是拉格朗日定理的特殊情況，古希臘數學家阿基米德正是巧妙地利用這一結論，求出拋物弓形的面積.。

意大利卡瓦列里在《不可分量幾何學》(1635年)的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理，其中引理3基于幾何的觀點也敘述了同樣一個事實：曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦。這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列里定理。該定理是拉格朗日中值定理在幾何學中的表達形式。

1797年，法國數學家拉格朗日在《解析函數論》一書中首先給出了拉格朗日定理，他給出的定理的最初形式是：“函數 在 與 之間連續， 在 與 之間有最小值 與最大值 ，則 必取 與 之間的一個值。”拉格朗日給出最初的證明，但證明并不嚴格，他給的條件比現在的條件要強，他要求函數 在閉區間上具有連續導數 ，并且他所用的連續也是直觀的，而不是抽象的。

十九世紀初，在微積分嚴格化運動中，柯西給出了拉格朗日中值定理的嚴格證明，在《無窮小計算教程概論》中，柯西證明了”如果導數 在閉區間 上連續，則必存在一點 ，使得 。 ”柯西又在《微分計算教程》中將拉格朗日中值定理推廣為柯西中值定理。

現代形式的拉格朗日中值定理是由法國數學家博（O.Bonnet）給出的，他不是利用導數 的連續性，而是利用羅爾定理對拉格朗日中值定理進行了重新證明。

6. 拉格朗日中值定理的內容

證明如下：如果函數f(x)在（a,b）上可導,[a,b]上連續,則必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意圖令f(x)為y,所以該公式可寫成△y=f'(x+θ△x)*△x (0

7. 拉格朗日中值定理是

首先,由于點( a,f(a) )和點( b,f(b) )的連線方程是這樣的 y=[ (f(b)-f(a))/(b-a) ](x-a)+f(a)

所以構造函數成兩曲線距離d與x之間的關系即可：H(x)=f(x)-y (曲線減去直線)

由于兩條線的起點與終點均重合,所以必然符合羅爾定理的條件H(a)=H(b),然后馬上可以用羅爾定理證得.

思路：

1、拉格朗日中值定理其實就是羅爾定理的推廣（或者說一般情況）,而柯西中值定理就是拉格朗日中值定理的推廣（或者說特殊情況）.

2、羅爾定理的條件f(a)=f(b)就意味著是點( a,f(a) )和點( b,f(b) )的連線平行于坐標軸的情況,然后求函數f(x)的極值點（等價于求f'(k)=0的點）屬于特殊情況.

而拉格朗日中值定理的情況是,羅爾定理的一般情況.( a,f(a) )和點( b,f(b) )的連線已經跟x軸產生夾角了,所以構造函數的時候就要把它的坐標軸轉變一下.然后還是跟羅爾定理一樣,求出函數H（x）的極值點即可.

8. 拉格朗日中值定理是啥

拉格朗日中值定理有一個變形，即所謂的有限增量公式：f(x0+Δx)-f(x0)=f'(x0+θΔx)Δx，0<θ<1。其中的

有一個很重要的性質：

若

在

點連續，且

，則

證明 由于f''(x)在

點連續，所以有

（1）

；

（2）

。

將（1）和（2）同時代入有限增量公式，可得

，，利用f"(x)在x0點處的連續性及f"(x0)≠0，在等式兩邊同取極限（令

），即可得結論。

9. 什么叫拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微分學中的基本定理之一，它反映了可導函數在閉區間上的整體的平均變化率與區間內某點的局部變化率的關系。拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一階展開）。

法國數學家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數論》的第六章提出了該定理，并進行了初步證明，因此人們將該定理命名為拉格朗日中值定理。

定理表述

如果函數f(x)滿足：

（1）在閉區間

上連續；

（2）在開區間

內可導；

那么在開區間 

內至少有一點

 使等式

 成立。

其他形式

記

 ,令

 ,則有

上式稱為有限增量公式。

我們知道函數的微分

 是函數的增量Δy的近似表達式，一般情況下只有當

很小的時候，dy和Δy之間的近似度才會提高；而有限增量公式卻給出了當自變量x取得有限增量Δx（

不一定很小）時，函數增量Δy的準確表達式，這就是該公式的價值所在。