一、高數(shù)求解。謝謝。
拉格朗日乘數(shù)法學(xué)了沒?
此題就可以用拉格朗日乘數(shù)法對最優(yōu)化問題解決。
u=lnx+2lny+3lnz=ln(xy^2z^3).求它的最值就是求xy^2z^3的最值。而且x,y,z>0.
設(shè)L(x,y,z,λ)=xy^2z^3+λ(x^2+y^2+z^2-R^2)(你題沒寫全,我就當(dāng)球的半徑是R吧)
?L/?x=y^2z^3+2λx,?L/?y=2xyz^3+2λy,?L/?z=3xy^2z^2+2λz,?L/?λ=x^2+y^2+z^2-R^2.
令其全部為0
y^2z^3=-2λx,2xz^3=-2λ;3xy^2z=-2λ;x^2+y^2+z^2-R^2=0
得到3y^2=2z^2,2x^2=y^2.可以帶入后面的式子,得到3y^2=R^2
z^2=R^2/2,x^2=R^2/6.x=√6R/6,y^2=R^2/3,z^3=√2R^3/4.
所以u=3ln(√3R/6).
呵呵,都是直接邊打邊算的。方法就是拉格朗日乘數(shù)法,所有高數(shù)書上都有的
二、講一下拉格朗日中值定理.并配上例題
如果函數(shù)f(x)在(a,b)上可導(dǎo),[a,b]上連續(xù),則必有一ξ∈(a,b),使得
f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
三、高數(shù)解答題
答: 設(shè)點M(x,y,z)在曲線上,則點M到xOy面距離為:z 令L=z+λ(x^2+y^2-2z^2)+μ(x+y+3z-5) 令 Lx=2λx+μ=0; Ly=2λy+μ=0; Lz=1-4λz+3μ=0; Lλ=x^2+y^2-2z^2=0; Lμ=x+y+3z-5=0 解得:x=1,y=1,z=1,λ=1/10,μ=-1/5 或x=-5,y=-5,z=5,λ=-1/10,μ=-1 所以當(dāng)M為(1,1,1)時,有最小距離z=1; 所以當(dāng)M為(-5,-5,5)時,有最大距離z=5 這是《高等數(shù)學(xué)》中“多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用”一章的內(nèi)容,本題涉及的是“多元函數(shù)的極值及其求法”知識。 上述方法稱為拉格朗日乘數(shù)法,L(x,y)=f(x,y)+λg(x,y),其中L(x,y)稱為拉格朗日函數(shù),λ是拉格朗日因子。 拉格朗日乘數(shù)法結(jié)論如下:要找函數(shù)m=f(x,y)在附加條件g(x,y)=0下可能的極值點,作拉格朗日函數(shù):L(x,y)=f(x,y)+λg(x,y),其中λ是參數(shù),然后求所有變量即x,y,λ的一階偏導(dǎo)數(shù)并使之為0,聯(lián)立解出來,(x,y)就是f(x,y)在附加條件g(x,y)=0下可能的極值點。代入f(x,y)得極值。 本題為例:目標(biāo)函數(shù)就是點M到面xOy的距離,顯然就是M的豎坐標(biāo)z.而x^2+y^2-2z^2=0和x+y+3z=5就是附加條件。 練習(xí)多了就熟了,做做這個例題: 求函數(shù)u=xyz在附加條件1/x+1/y+1/z=1/a (x,y,z,a>0)下的極值。 (答案:x=y=z=3a時,有極值27a^3) 有什么不懂的請再問。