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[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函數f(x)滿足條件:
(1)在閉區間[a,b]上連續;
(2)在開區間(a,b)內可導,則在(a,b)內至少存在一點ξ,使得
顯然,羅爾定理是拉格朗日中值定理當f(a)=f(b)時的特殊情形,拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。
2. 任意拉格朗日
拉格朗日出生在意大利的都靈。由于是長子,父親一心想讓他學習法律,然而,拉格朗日對法律毫無興趣,偏偏喜愛上文學。
直到16歲時,拉格朗日仍十分偏愛文學,對數學尚未產生興趣。16歲那年,他偶然讀到一篇介紹牛頓微積分的文章《論分析方法的優點》,使他對牛頓產生了無限崇拜和敬仰之情,于是,他下決心要成為牛頓式的數學家。
在進入都靈皇家炮兵學院學習后,拉格朗日開始有計劃地自學數學。由于勤奮刻苦,他的進步很快,尚未畢業就擔任了該校的數學教學工作。20歲時就被正式聘任為該校的數學副教授。從這一年起,拉格朗日開始研究“極大和極小”的問題。他采用的是純分析的方法。1758年8月,他把自己的研究方法寫信告訴了歐拉,歐拉對此給予了極高的評價。從此,兩位大師開始頻繁通信,就在這一來一往中,誕生了數學的一個新的分支——變分法。
1759年,在歐拉的推薦下,拉格朗日被提名為柏林科學院的通訊院士。接著,他又當選為該院的外國院士。
1762年,法國科學院懸賞征解有關月球何以自轉,以及自轉時總是以同一面對著地球的難題。拉格朗日寫出一篇出色的論文,成功地解決了這一問題,并獲得了科學院的大獎。拉格朗日的名字因此傳遍了整個歐洲,引起世人的矚目。兩年之后,法國科學院又提出了木星的4個衛星和太陽之間的攝動問題的所謂“六體問題”。面對這一難題,拉格朗日毫不畏懼,經過數個不眠之夜,他終于用近似解法找到了答案,從而再度獲獎。這次獲獎,使他贏得了世界性的聲譽。
1766年,拉格朗日接替歐拉擔任柏林科學院物理數學所所長。在擔任所長的20年中,拉格朗日發表了許多論文,并多次獲得法國科學院的大獎:1722年,其論文《論三體問題》獲獎;1773年,其論文《論月球的長期方程》再次獲獎;1779年,拉格朗日又因論文《由行星活動的試驗來研究彗星的攝動理論》而獲得雙倍獎金。
在柏林科學院工作期間,拉格朗日對代數、數論、微分方程、變分法和力學等方面進行了廣泛而深入的研究。他最有價值的貢獻之一是在方程論方面。他的“用代數運算解一般n次方程(n4)是不能的”結論,可以說是伽羅華建立群論的基礎。
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設給定二元函數z=?(x,y)和附加條件φ(x,y)=0,為尋找z=?(x,y)在附加條件下的極值點,先做拉格朗日函數,其中λ為參數。求L(x,y)對x和y的一階偏導數,令它們等于零,并與附加條件聯立,即
L'x(x,y)=?'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0,
L'y(x,y)=?'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0,
φ(x,y)=0
由上述方程組解出x,y及λ,如此求得的(x,y),就是函數z=?(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點。
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羅爾中值定理能推出拉格朗日中值定理和柯西中值定理,反過來拉格朗日中值定理和柯西中值定理也可以推出羅爾中值定理。
泰勒中值定理是由柯西中值定理推出來的。泰勒中值定理在一階導數情形就是拉格朗日中值定理。
羅比達法則是柯西中值定理在求極限時應用。
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在數學最優化問題中,拉格朗日乘數法(以數學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名)是一種尋找變量受一個或多個條件所限制的多元函數的極值的方法。這種方法將一個有n 個變量與k 個約束條件的最優化問題轉換為一個有n + k個變量的方程組的極值問題,其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標量未知數,即拉格朗日乘數:約束方程的梯度(gradient)的線性組合里每個矢量的系數。
引入新變量拉格朗日乘數,即可求解拉格朗日方程
此方法的證明牽涉到偏微分,全微分或鏈法,從而找到能讓設出的隱函數的微分為零的未知數的值。
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步驟1
無盡的拉格朗日怎么對接
一、對接方法
在地圖中選中我們想要對接的目標,點擊兩個方形組合的綠色按鈕,就會顯示出這個對接點的具體對接信息。例如下圖這個對接點,顯示需要用基地對接,以及對接后將提升金屬產量。
步驟2
點擊“對接”,選擇我們要對接的建筑后,就可以建立計劃派遣工程艦前往建造。建造用到工程艦越多,工程艦越高級,建造時間就越短。建筑建造完成后,建筑自動進入對接狀態。
步驟3
二、無法對接
一些開拓者可能在對接時,系統會提示”計劃圈范圍內不能包含其他計劃“,這是什么原因呢?
因為執行“對接”這個指令,就需要在目標地點建立一個計劃圈。而如果目標地點已經存在一個計劃圈,比如有工程艦采集,有基地、前哨站或采礦平臺,那么“對接”指令的計劃圈就無法重疊建立。
要解決上述的問題,先要確定自己是否正確的用“對接”的方式建造了前哨站。一些開拓者不是點“對接”再建造前哨站,而是直接在地圖某個位置點“建造”造出了前哨站,這樣肯定是沒有對接效果的。如果是這種情況,就需要將前哨站拆了,重新“對接”。
其次要確定目標地點是否有其他計劃圈。如果是有工程艦采集,需要將工程艦撤回,回收計劃圈。如果是有前哨站、采礦平臺或基地,就得考慮是否要換個對接點了。