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柯西與拉格朗日(柯西拉格朗日積分)

來源:www.mqwn.com.cn???時(shí)間:2023-01-30 12:13???點(diǎn)擊:243??編輯:admin 手機(jī)版

1. 柯西拉格朗日積分

推廣后的柯西積分定理和柯西積分公式條件一樣,都是區(qū)域內(nèi)解析,邊界上連續(xù)就可以用;

但由于表達(dá)式的不同,柯西積分定理主要是用閉曲線上積分為0這個(gè)性質(zhì),也就是積分與路徑無關(guān),與實(shí)分析里的格林公式類似;

柯西積分公式則是利用閉曲線的積分計(jì)算曲線內(nèi)部的函數(shù)值,沒有積分為0這一條(因?yàn)榉e分公式的結(jié)構(gòu),被積函數(shù)在閉曲線內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn));

所以要利用積分與路徑無關(guān)的話,用柯西積分定理,要計(jì)算函數(shù)值的話,用柯西積分公式。

2. 拉格朗日 積分

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函數(shù)f(x)滿足條件:

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得

顯然,羅爾定理是拉格朗日中值定理當(dāng)f(a)=f(b)時(shí)的特殊情形,拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。

3. 拉格朗日微積分

在數(shù)學(xué)最優(yōu)化問題中,拉格朗日乘數(shù)法(以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名)是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法。這種方法將一個(gè)有n 個(gè)變量與k 個(gè)約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)有n + k個(gè)變量的方程組的極值問題,其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù),即拉格朗日乘數(shù):約束方程的梯度(gradient)的線性組合里每個(gè)矢量的系數(shù)。

引入新變量拉格朗日乘數(shù),即可求解拉格朗日方程

此方法的證明牽涉到偏微分,全微分或鏈法,從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值。

4. 拉格朗日不定積分

設(shè)給定二元函數(shù)z=?(x,y)和附加條件φ(x,y)=0,為尋找z=?(x,y)在附加條件下的極值點(diǎn),先做拉格朗日函數(shù),其中λ為參數(shù)。求L(x,y)對x和y的一階偏導(dǎo)數(shù),令它們等于零,并與附加條件聯(lián)立,即

L'x(x,y)=?'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0,

L'y(x,y)=?'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0,

φ(x,y)=0

由上述方程組解出x,y及λ,如此求得的(x,y),就是函數(shù)z=?(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點(diǎn)。

5. 拉格朗日定積分

拉格朗日定理存在于多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中,分別為:流體力學(xué)中的拉格朗日定理;微積分中的拉格朗日定理;數(shù)論中的拉格朗日定理;群論中的拉格朗日定理。

正壓理想流體在質(zhì)量力有勢的情況下,如果初始時(shí)刻某部分流體內(nèi)無渦,則在此之前或以后的任何時(shí)刻中這部分流體皆為無渦。以某一起始時(shí)刻每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置(a、b、c),作為該質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志。 如果在一個(gè)正整數(shù)的因數(shù)分解式中,沒有一個(gè)數(shù)有形式如4k+3的質(zhì)數(shù)次方,該正整數(shù)可以表示成兩個(gè)平方數(shù)之和。

6. 柯西拉格朗日積分的適用條件

判斷是極大值還是極小值點(diǎn),一個(gè)初步的方法是依靠經(jīng)驗(yàn)和對問題的認(rèn)識。當(dāng)不能作出有效判斷時(shí),可以求取函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷,其實(shí)一個(gè)簡單的方法是比較該極值點(diǎn)的函數(shù)值與相鄰點(diǎn)的函數(shù)來作出判斷。

至于存在不能化為無條件極值的問題,一般是先不管約束條件建立求解極值點(diǎn)的方程,然后再限制在約束條件下求出最后解答,具體的過程,建議參看變分原理等數(shù)學(xué)或力學(xué)書籍,如《計(jì)算動力學(xué)》中就有提到,不過這本書不是純粹的數(shù)學(xué)推演。

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