1. 柯西拉格朗日積分
推廣后的柯西積分定理和柯西積分公式條件一樣,都是區(qū)域內解析,邊界上連續(xù)就可以用;
但由于表達式的不同,柯西積分定理主要是用閉曲線上積分為0這個性質,也就是積分與路徑無關,與實分析里的格林公式類似;
柯西積分公式則是利用閉曲線的積分計算曲線內部的函數(shù)值,沒有積分為0這一條(因為積分公式的結構,被積函數(shù)在閉曲線內有一個奇點);
所以要利用積分與路徑無關的話,用柯西積分定理,要計算函數(shù)值的話,用柯西積分公式。
2. 拉格朗日 積分
[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函數(shù)f(x)滿足條件:
(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);
(2)在開區(qū)間(a,b)內可導,則在(a,b)內至少存在一點ξ,使得
顯然,羅爾定理是拉格朗日中值定理當f(a)=f(b)時的特殊情形,拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。
3. 拉格朗日微積分
在數(shù)學最優(yōu)化問題中,拉格朗日乘數(shù)法(以數(shù)學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名)是一種尋找變量受一個或多個條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法。這種方法將一個有n 個變量與k 個約束條件的最優(yōu)化問題轉換為一個有n + k個變量的方程組的極值問題,其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標量未知數(shù),即拉格朗日乘數(shù):約束方程的梯度(gradient)的線性組合里每個矢量的系數(shù)。
引入新變量拉格朗日乘數(shù),即可求解拉格朗日方程
此方法的證明牽涉到偏微分,全微分或鏈法,從而找到能讓設出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值。
4. 拉格朗日不定積分
設給定二元函數(shù)z=?(x,y)和附加條件φ(x,y)=0,為尋找z=?(x,y)在附加條件下的極值點,先做拉格朗日函數(shù),其中λ為參數(shù)。求L(x,y)對x和y的一階偏導數(shù),令它們等于零,并與附加條件聯(lián)立,即
L'x(x,y)=?'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0,
L'y(x,y)=?'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0,
φ(x,y)=0
由上述方程組解出x,y及λ,如此求得的(x,y),就是函數(shù)z=?(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點。
5. 拉格朗日定積分
拉格朗日定理存在于多個學科領域中,分別為:流體力學中的拉格朗日定理;微積分中的拉格朗日定理;數(shù)論中的拉格朗日定理;群論中的拉格朗日定理。
正壓理想流體在質量力有勢的情況下,如果初始時刻某部分流體內無渦,則在此之前或以后的任何時刻中這部分流體皆為無渦。以某一起始時刻每個質點的坐標位置(a、b、c),作為該質點的標志。 如果在一個正整數(shù)的因數(shù)分解式中,沒有一個數(shù)有形式如4k+3的質數(shù)次方,該正整數(shù)可以表示成兩個平方數(shù)之和。
6. 柯西拉格朗日積分的適用條件
判斷是極大值還是極小值點,一個初步的方法是依靠經(jīng)驗和對問題的認識。當不能作出有效判斷時,可以求取函數(shù)的二階導數(shù)進行判斷,其實一個簡單的方法是比較該極值點的函數(shù)值與相鄰點的函數(shù)來作出判斷。
至于存在不能化為無條件極值的問題,一般是先不管約束條件建立求解極值點的方程,然后再限制在約束條件下求出最后解答,具體的過程,建議參看變分原理等數(shù)學或力學書籍,如《計算動力學》中就有提到,不過這本書不是純粹的數(shù)學推演。