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拉格朗日插值應用(拉格朗日插值應用實例)

來源:www.mqwn.com.cn???時間:2023-02-01 21:01???點擊:265??編輯:admin 手機版

1. 拉格朗日插值應用實例

在數(shù)值分析中,拉格朗日插值法是以法國十八世紀數(shù)學家約瑟夫·拉格朗日命名的一種多項式插值方法。

許多實際問題中都用函數(shù)來表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律,而不少函數(shù)都只能通過實驗和觀測來了解。如對實踐中的某個物理量進行觀測,在若干個不同的地方得到相應的觀測值,拉格朗日插值法可以找到一個多項式,其恰好在各個觀測的點取到觀測到的值。

2. 拉格朗日插值基本原理

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函數(shù)f(x)滿足條件:

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得

顯然,羅爾定理是拉格朗日中值定理當f(a)=f(b)時的特殊情形,拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。

3. 拉格朗日插值實際應用

不是,是一種分式函數(shù),算初等函數(shù)。但是該內(nèi)容出現(xiàn)在數(shù)學分析中。

4. 拉格朗日插值例子

構造一組插值基函數(shù).”就是構造一個函數(shù),這個函數(shù)在其中一點的值為1,其它點的值為0。這樣的話把n個這樣的函數(shù)加權加起來得到的函數(shù)就是在每個點上的值都是需要的了

5. 拉格朗日插值法的實際應用

拉格朗日插值公式(外文名Lagrange interpolation formula)指的是在節(jié)點上給出節(jié)點基函數(shù),然后做基函數(shù)的線性組合,組合系數(shù)為節(jié)點函數(shù)值的一種插值多項式。

線性插值也叫兩點插值,已知函數(shù)y = f (x)在給定互異點x0, x1上的值為y0= f (x0),y1=f (x1)線性插值就是構造一個一次多項式:P1(x) = ax + b,使它滿足條件:P1 (x0) = y0, P1 (x1) = y1

其幾何解釋就是一條直線,通過已知點A (x0, y0),B(x1, y1)。

線性插值計算方便、應用很廣,但由于它是用直線去代替曲線,因而一般要求[x0, x1]比較小,且f(x)在[x0, x1]上變化比較平穩(wěn),否則線性插值的誤差可能很大。為了克服這一缺點,有時用簡單的曲線去近似地代替復雜的曲線,最簡單的曲線是二次曲線,用二次曲線去逼近復雜曲線的情形。[1]

6. 拉格朗日插值法例題求解

構造函數(shù)4a+b+m(a^2+b^2+c^2-3)

對函數(shù)求偏導并令其等于0

4+2ma=0

1+2mb=0

2mc=0

同時a^2+b^2+c^2=3

所以

m=根號17/2根號3

a=-4根號3/根號17

b=-根號3/根號17

4a+b=-根號51

1、是求極值的,不是求最值的

2、如果要求最值,要把極值點的函數(shù)值和不可導點的函數(shù)值還有端點函數(shù)值進行比較

3、書上說是可能的極值點,這個沒錯,比如f(x)=x^3,在x=0點導數(shù)確實為0,但是不是極值點,所以是可能的極值點,到底是不是要帶入原函數(shù)再看

7. 拉格朗日插值法應用

拉格朗日插值公式

約瑟夫·拉格朗日發(fā)現(xiàn)的公式

拉格朗日插值公式線性插值也叫兩點插值,已知函數(shù)y = f (x)在給定互異點x0, x1上的值為y0= f (x0),y1=f (x1)線性插值就是構造一個一次多項式P1(x) = ax + b使它滿足條件P1 (x0) = y0 P1 (x1) = y1其幾何解釋就是一條直線,通過已知點A (x0, y0),B(x1, y1)。

8. 拉格朗日插值的插值條件

一、拉格朗日插值法

是以法國十八世紀數(shù)學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一種多項式插值方法。許多實際問題中都用函數(shù)來表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律,而不少函數(shù)都只能通過實驗和觀測來了解。如對實踐中的某個物理量進行觀測,在若干個不同的地方得到相應的觀測值,拉格朗日插值法可以找到一個多項式,其恰好在各個觀測的點取到觀測到的值。這樣的多項式稱為拉格朗日(插值)多項式。

二、Lagrange基本公式:

拉格朗日插值公式,設,y=f(x),且xi< x < xi+1,i=0,1,…,n-1,有:

Lagrange插值公式計算時,其x取值可以不等間隔。由于y=f(x)所描述的曲線通過所有取值點,因此,對有噪聲的數(shù)據(jù),此方法不可取。

一般來說,對于次數(shù)較高的插值多項式,在插值區(qū)間的中間,插值多項式能較好地逼近函數(shù)y=f(x),但在遠離中間部分時,插值多項式與y=f(x)的差異就比較大,越靠近端點,其逼近效果就越差。

三、C++實現(xiàn)

#include <iostream>

#include <conio.h>

#include <malloc.h>

double lagrange(double *x,double *y,double xx,int n)/*拉格朗日插值算法*/

{

int i,j;

double *a,yy=0.0;/*a作為臨時變量,記錄拉格朗日插值多項式*/

a=(double *)malloc(n*sizeof(double));

for(i=0;i<=n-1;i++)

{

a[i]=y[i];

for(j=0;j<=n-1;j++)

if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]);

yy+=a[i];

}

free(a);

return yy;

}

/

int main()

{

int i;

int n;

double x[20],y[20],xx,yy;

printf("Input n:");

scanf("%d",&n);

if(n>=20)

{

printf("Error!The value of n must in (0,20).");

getch();

return 1;

}

if(n<=0)

{

printf("Error! The value of n must in (0,20).");

getch();

return 1;

}

for(i=0;i<=n-1;i++)

{

printf("x[%d]:",i);

scanf("%lf",&x[i]);

}

printf("\n");

for(i=0;i<=n-1;i++)

{

printf("y[%d]:",i);

scanf("%lf",&y[i]);

}

printf("\n");

printf("Input?xx:");

scanf("%lf",&xx);

yy=lagrange(x,y,xx,n);

printf("x=%.13f,y=%.13f\n",xx,yy);

getch();

}

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