一、拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，它反應了可導函數在閉區間上的整體的平均變化率與區間內某點的局部變化率的關系。表達式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(a<ξ<b）。

二、拉格朗日中值定理證明

公式，f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(a<ξ<b）

定義，如果函數f(x)滿足：

（1）在閉區間[a,b]上連續；

（2）在開區間(a,b)內可導；

那么在開區間(a,b)內至少有一點使等式成立。

三、拉格朗日中值定理例題

拉格朗日中值定理

若函數f(x)在區間[a,b]滿足以下條件:

(1)在[a,b]連續

(2)在(a,b)可導

則在(a,b)中至少存在一點f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a<c<b，使或f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 成立，其中a<c<b

四、拉格朗日中值定理高中

首先,由于點( a,f(a) )和點( b,f(b) )的連線方程是這樣的 y=[ (f(b)-f(a))/(b-a) ](x-a)+f(a)

所以構造函數成兩曲線距離d與x之間的關系即可：H(x)=f(x)-y (曲線減去直線)

由于兩條線的起點與終點均重合,所以必然符合羅爾定理的條件H(a)=H(b),然后馬上可以用羅爾定理證得.

思路：

1、拉格朗日中值定理其實就是羅爾定理的推廣（或者說一般情況）,而柯西中值定理就是拉格朗日中值定理的推廣（或者說特殊情況）.

2、羅爾定理的條件f(a)=f(b)就意味著是點( a,f(a) )和點( b,f(b) )的連線平行于坐標軸的情況,然后求函數f(x)的極值點（等價于求f'(k)=0的點）屬于特殊情況.

而拉格朗日中值定理的情況是,羅爾定理的一般情況.( a,f(a) )和點( b,f(b) )的連線已經跟x軸產生夾角了,所以構造函數的時候就要把它的坐標軸轉變一下.然后還是跟羅爾定理一樣,求出函數H（x）的極值點即可.

五、拉格朗日中值定理定義

人們對拉格朗日中值定理的認識可以上溯到公元前古希臘時代。古希臘數學家在幾何研究中得到如下結論：“過拋物線弓形的頂點的切線必平行于拋物線弓形的底”。這正是拉格朗日定理的特殊情況，古希臘數學家阿基米德正是巧妙地利用這一結論，求出拋物弓形的面積.。

意大利卡瓦列里在《不可分量幾何學》(1635年)的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理，其中引理3基于幾何的觀點也敘述了同樣一個事實：曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦。這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列里定理。該定理是拉格朗日中值定理在幾何學中的表達形式。

1797年，法國數學家拉格朗日在《解析函數論》一書中首先給出了拉格朗日定理，他給出的定理的最初形式是：“函數 在 與 之間連續， 在 與 之間有最小值 與最大值 ，則 必取 與 之間的一個值?！崩窭嗜战o出最初的證明，但證明并不嚴格，他給的條件比現在的條件要強，他要求函數 在閉區間上具有連續導數 ，并且他所用的連續也是直觀的，而不是抽象的

六、拉格朗日中值定理的條件

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函數f(x)滿足條件：

（1）在閉區間[a,b]上連續；

（2）在開區間(a,b)內可導，則在(a,b)內至少存在一點ξ，使得

顯然，羅爾定理是拉格朗日中值定理當f(a)=f(b)時的特殊情形，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。

七、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的區別

一、地位不同：　　1、柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，　　2、拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一階展開）。　　二、幾何意義不同：　　1、柯西中值定理幾何意義為，用參數方程表示的曲線上至少有一點，它的切線平行于兩端點所在的弦。該定理可以視作在參數方程下拉格朗日中值定理的表達形式?！　?、拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，它反映了可導函數在閉區間上的整體的平均變化率與區間內某點的局部變化率的關系。

八、拉格朗日中值定理在極限的應用

“兩分法”：向著一個目的地運動的物體，首先必須經過路程的中點；然而要經過這點，又必須先經過路程的四分之一點；要過四分之一點又必須首先通過八分之一點等等，如此類推，以至無窮。結論是：無窮是不可窮盡的過程，運動永遠不可能開始的。

九、拉格朗日中值定理的條件和結論

在高中階段（國內），命題的否定指的是；只否定該命題的結論，（條件不變）。而否命題指的是：否定原命題的條件和結論。

比如:“若a>0.則a+b>0”這個命題的否定是“存在 a>0, 使得a+b≤0”,否命題是“若a<=0,則a+b≤0”；

注意：命題的否定和否命題是完全不相同的，不可混淆！