一、拉貝格積分

這個程序，我正好在學計算方法的時候寫過，直接貼代碼

C++實現如下：

#include<iostream>

#include<cmath>

using namespace std;

const int MAXRepeat = 100; //最大允許重復

double function(double x)//被積函數,根據自己的需要手工輸入

{

double s;

s = 1.0 / (1 + x);

return s;

}

void Romberg(double a, double b, double epsion, double f(double x))

{

int m = 1;

int n = 1;

int k;

double h;

double ep;

double p;

double xk;

double s;

double q;

double T[MAXRepeat];

h = b - a;

T[0] = 0.5 * h * (f(a) + f(b));

ep = epsion + 1.0;

while ((ep >= epsion) && (m < MAXRepeat))

{

p = 0.0;

for (k = 0; k < n; k++)

{

xk = a + (k + 0.5) * h; // n-1

p = p + f(xk); //計算∑f(xk+h/2),T

} // k=0

p = (T[0] + h * p) / 2.0; //T`m`(h/2),變步長梯形求積公式

s = 1.0;

for (k = 1; k <= m; k++)

{

s = 4.0 * s; //[pow(4,m)T`m`(h/2)-T`m`(h)]/[pow(4,m)-1],2m階牛頓柯斯特公式，即龍貝格公式

q = (s * p - T[k - 1]) / (s - 1.0);

T[k-1] = p;

p = q;

}

ep = fabs(q - T[m - 1]);

m++;

T[m - 1] = q;

n++; // 2 4 8 16

h /= 2.0;

}

for (int i = 0; i < m; i++)

{

int j;

if (!(i % j))

{

cout<<T[i]<<endl;

}

else

{

cout<<T[i]<<" ";

}

j++;

}

}

int main()

{

double a;

double b;

double epsion;

cout<<"Please input the lower limit: ";

cin>>a;

cout<<"Please input the upper limit: ";

cin>>b;

cout<<"Please input the precision : ";

cin>>epsion;

Romberg( a, b, epsion, function);

return 0;

}

希望對您有所幫助！！！

二、勒貝格積分的計算方法

容積（體積）單位只有“升”，沒有“立升”。

1升＝1000 毫升

＝1000 立方厘米

＝1 立方分米

生活中的例子：一瓶啤酒約600毫升，合半升多一點。

至于計算公式，那要看容器的形狀。粗略說，不管圓的方的，一般情況下的計算公式都是：

容積（體積）＝ 底面積×高

三、勒貝格積分思想

東方和西方在思想上的差別，遠遠不是一個保守一個開放那么簡單的。兩種思想在歷史上都各自有相對“開放”和“保守”的時期。其根本區別應該在于視角的選擇。

東方思想起始于儒家和道家的思想。儒家思想的出發點是承認社會的存在，其目的性和重要性。基于社會的發展和目標，儒家思想提出了很多對于社會中各類人的道德約束和提倡。比如，他們提倡一個君主要“仁“，一個下人要“禮”。這些“教條”事實上都是為了儒家思想中所認定的”社會“而服務的。道家的思想則是建立在對事物發展的規律的存在之上，提倡對“道”的思考和思索，和“無為而治”的準則。綜合來考慮，東方思想的思維方向是由大到小，先認可社會和自然的發展規律和其不可抵擋的必然性，再在此基礎上探討人的行為準則。佛家的思想雖然在內容上有很大的不同，但其大致的框架也是如此，即認定“因果”等概念的存在，再基于這些基本概念提出一些有關具體行為的倡導。

西方思想并不否定一種大環境下的自然和社會的規律，但其重心在于個體的選擇。“自由意志”是西方思想中最核心的概念。甚至西方的思想家會將自然的規律歸功于一個至高無上的智慧體的”意志“的結果，這個智慧體也就是我們所稱的“上帝”。而西方所謂的“道德”并不旨在滿足社會的最終目的，而是為了讓人的行為符合他們所認為的“上帝”對人的期盼。同時西方也認為，由一定數量的擁有“自由意志”的個體所組成的社會，其發展軌跡也是由其這些“自由意志”的集合來決定的，有時表現為“少數人服從多數人”，有時則表現為”弱者服從強者“，但都是這些”自由意志“之間競爭的結果。所以，總得來說，西方思想是由小到大，肯定“自由意志”的存在，把社會和自然的發展看作是“自由意志”在某種形式下所導致的結果。

四、勒貝格積分的主要思想

荀子的行政思想

　　荀子出生于戰國時代的趙國，是我國歷史上著名的思想家、文學家和政治家，被尊稱為“荀卿”。 荀子信仰儒學，是儒家的代表人物之一，也是辭賦之祖。代表作品有《荀子》，弟子中比較著名的是李斯、韓非和張蒼，再傳弟子賈誼學富五車，對后世影響也很大。

　　客觀來說，時至今日，荀子的行政思想仍然具有相當大的積極意義。

　　一是倡導節用節流。他先后提出了“務本節用則無極”、“節用裕民”、“節用以禮”、“節其流，開其源”等多項節儉持政的主張。對當時奢侈腐化的皇室貴族具有一定的警醒意義。

　　二是倡導忠職敬業。茍子提出了“從道而不從君”的忠君原則，對于制中、宰爵、司徒、治田、虞師、鄉師、工師等身為人臣的忠職也進行了論述和明確。他提出的君主早朝不能太晚、為臣者敬業守職的精辟見解在我國的封建社會享有較高地位，一直沿襲到末期。

　　三是倡導嚴于修身。我們常引用的“其身正，不令而行;其身不正，雖令不行。”這句名言就出自荀子。他提出的正人必先正己，以實際行動替代無謂的說教，彰顯的是率先垂范的人格魅力。

四是倡導親民愛民。荀子提出“君也，舟也;庶人也，水也。水則載舟，水則覆舟”。其中，“水能載舟，水亦能覆舟”一句以最淺顯的道理建言君主平政愛民，使政權穩定牢固。

　　五是倡導尚德尚能。他主張打破貴族壟斷的做法，任人唯賢，做到內不阿親，外不避仇，這樣才能人盡其才、才盡其用。

　　盡管，荀子的行政思想帶有一定的封建主義色彩，完全以維護統治階級利益為出發點，但也應該客觀地看到，上述觀點也具有一定的積極作用和較大的深遠影響，值得我們研究和借鑒。

　　荀子教育思想

　　荀子是周朝戰國時期的一名著名的思想家、文學家、政治家和教育家，無論是在政治上、經濟上、哲學上，還是在教育學等方面都取得了卓越的成就。尤其是其獨特的教育思想，不僅在古代，對古代文化的傳承具有重要的影響，乃至當今，荀子的教育思想對當代社會政治的發展都具有重要意義。

縱觀我國的教育史，第一個注重“尊師重教”的價值觀念取向，并提出“天地君親師”的教育家即是荀子，但是荀子特別強調，一個人的好壞是受后天的環境和教育的綜合影響，而非先天決定。關于荀子的教育思想的精華主要體現在以下幾方面：

　　一是在教育的作用方面。荀子認為，教育的最大作用或意義即在于將人“惡”的本性逐漸轉化為“善”，不斷提高人的素質。通過教育，使人的素質得以不斷提高，并改善或扭轉人的命運。因此，荀子認為教育才是改變人生命運的關鍵因素。

　　二是在教育的目的和內容方面。關于教育的目的方面，荀子認為，教育的目的就在于向學者傳播知識，不斷增加學者的知識底蘊，使學者博學多識。

　　關于教育的內容方面，荀子特別強調《詩》、《書》、《禮》、《樂》、《春秋》和《易》等儒家經典名著的重要性，尤其是《禮》和《樂》這兩部儒家經典名著。因為這些儒家經典名著對于規范學者的行為規范，培養良好的道德觀念具有至關重要的作用。

荀子非相思想

　　荀子生于公元前313年至238年，名況，字卿，因為西漢當時皇帝叫劉詢，為了避諱皇戰國末期儒家代表人物，他認為“人之性惡”，思想體系中有明顯的唯物思想成份，可以說是個唯物主義思想家。

　　《荀子非相篇》開篇就立場鮮明地批駁了相面術，他指出“相形不如論心，論心不如擇術”看一個人的外表不如看他的內心思想，看人的思想不如看他怎么為人處世。外表即使丑陋而思想道德和處世方法好，他仍然可以成為一個堂堂君子，而只有漂亮的外表而思想道德和處世讓人嫌惡，他在人們眼中只能是個小人。他說古代的人根本沒有這種相面之事，真正有學問的人也從不談論這個。

　　接下來，他舉了大量歷史名人為例，堯高而舜矮，周文王高而周公旦矮;孔子高而冉雍矮，孫叔敖外表丑陋卻為楚國稱霸立下汗馬功勞還有葉公子徐偃王等，都是其貌不揚甚至丑陋之人卻都成為讓人敬仰之人。進一步論述了不能只從外表來評判一個人，而要看他內在的思想學問。夏桀、商紂再次被荀子提到，他們都是儀表堂堂之人，但結果呢?只留下歷史罵名和恥辱。

舉了古代例子，他又舉當時社會的例子，許多做亂之人和輕薄之徒，大都長相英俊，衣飾華麗，女人看了沒有不喜歡的，國君不愿有這樣的臣子，做父親的也不愿有這樣的兒子。再次講到禮義的重要，并且認為這是人之所以為人的根本，“饑而欲食，寒而欲暖，勞而欲息，好利而惡害，是人之所生而有也，是無待而然者也，是禹桀之所同也。然則人之所以為人者，非特以二足而無毛也，以其有辨也。”

五、黎曼積分和勒貝格積分

定積分的正式名稱是黎曼積分，詳見黎曼積分。用自己的話來說，就是把直角坐標系上的函數的圖象用平行于y軸的直線和x軸把其分割成無數個矩形，然后把某個區間[a,b]上的矩形累加起來，所得到的就是這個函數的圖象在區間[a,b]的面積。

實際上，定積分的上下限就是區間的兩個端點a、b。 我們可以看到，定積分的本質是把圖象無限細分，再累加起來，而積分的本質是求一個函數的原函數。它們看起來沒有任何的聯系，那么為什么定積分寫成積分的形式呢？

定積分與積分看起來風馬牛不相及，但是由于一個數學上重要的理論的支撐，使得它們有了本質的密切關系。把一個圖形無限細分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由于這個理論，可以轉化為計算積分。

這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的內容是： 若f'(x)=f(x) 那么∫f(x) dx (上限a下限b)=f(a)-f(b) 但是這里x出現了兩種意義，一是表示積分上限，二是表示被積函數的自變量，但定積分中被積函數的自變量取一個定值是沒意義的。

雖然這種寫法是可以的，但習慣上常把被積函數的自變量改成別的字母如t，這樣意義就非常清楚了： φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt 牛頓-萊布尼茲公式用文字表述，就是說一個定積分式的值，就是上限在原函數的值與下限在原函數的值的差。 正這個理論揭示了積分與黎曼積分本質的聯系，可見其在微積分學乃至整個高等數學上的重要地位，因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。

六、勒貝格積分發展的必要性

我國農村現代化發展的重要性就是其作用的體現，把農業建立在現代科學的基礎上，用現代科學技術和現代工業來裝備農業，用現代經濟科學來管理農業，重要性如下：

1．農業生產手段現代化。運用先進設備代替人的手工勞動，特別是在產前、產中和產后各個環節中大面積采用機械化作業，大大降低農業勞動者的體力強度，提高勞動生產率。

2．農業生產技術科學化。把先進的科學技術廣泛應用于農業，提高農業生產的科技水平和農產品的科技含量，提升農產品品質和農產品國際競爭力，降低生產成本，保證食品安全。

3．農業經營方式產業化。轉變農業增長方式，主要是大力發展農業產業化經營，使農產品生產、加工、流通諸環節有機結合，形成種養加、產供銷、貿工農一體化的經營格局，提高農業的經營效益，增強農業抵御自然風險和市場風險的能力。

4．農業服務社會化。形成多種形式的農業社會化服務組織，在整個農業生產經營過程的各個環節中都有社會化服務組織提供專門服務。

5．農業產業布局區域化。各地面向國際國內兩個市場，根據自身的資源、地理和環境條件，發展各具特色的并有一定規模的農業支柱產業和拳頭產品，形成優勢農產品產業帶，提高農產品的市場競爭力和市場占有率。

6．農業基礎設施現代化。既有利于增強農業抗御各種自然災害的能力，又有利于農業資源的高效利用，農業發展后勁大為增強。

七、勒貝格積分的優點

SSR 也不會產生機械噪聲，可在很寬的輸入電壓范圍內工作，即使在高電壓下也能實現低功耗。隨著 SSR 的價格越來越低，從 EMR 到 SSR 的轉換已經加速。

SSR 的主要缺點來自其作為半導體電路的基礎元器件。例如，當“接通”時其電阻很大，從而導致數十瓦的功率耗散并由此產生熱量。為克服散熱難題，設計人員通常必須為其選擇一個堅固耐用的散熱器，但這樣會增加解決方案的尺寸和重量。

此外 SSR 還會受到環境熱量的影響，因此，高溫下使用時必須降低額定功率。如果內部電路電阻對電源電壓的變化敏感，則內部電路電阻也會產生電壓降，這可能造成負載問題。

八、勒貝格積分與黎曼積分的關系

一、關系：指事物之間相互作用、相互影響的狀態。常指性關系（發生關系、情侶親熱、性行為）。 【基本解釋】 1. 事物之間相互作用、相互影響的狀態。 2. 人和人或人和事物之間某種性質的聯系。 3. 社會關系。 4. 有影響或重要性。 5. 泛指原因、條件。 6. 牽涉。 7. 組織關系。 8. 泛指原因、條件等。 二、聯系：簡單的含義是聯絡、接洽，復雜的含義是事物之間的有機關聯。聯系同時也是一個哲學概念。指事物內部矛盾雙方和事物之間所發生的關系。事物的聯系是普遍存在的、多種多樣的。 【基本解釋】 1. 互相之間取得聯通關系；大部隊聯系上了； 2.結合起來聯系自己的思想發言。

九、勒貝格積分是黎曼廣義積分的推廣

1、不定積分=indefiniteintegral 　　不定積分，就是求一個被積函數integrand的原函數antiderivativefunction； 　　一個函數f(x)求導后，得到導函數derivativefunction； 　　把導函數當成被積函數，計算出原來的函數f(x)，f(x)就被稱為原函數。 　　

2、定積分=definiteintegral 　　在不考慮被積函數有間斷點的情況下，定積分的方法，跟不定積分的方法一樣； 　　但是不定積分積不出來的情況，有很多在定積分的情況下就能積分出來,也就是說，不定積分，沒有積分區間；定積分有積分區間，有時在特殊的積分區間上，不定積分無法積分，定積分卻可以積出來。 　　

3、反常積分=improperintegral 　　漢語中分成了兩類：廣義積分、暇積分。 　　廣義積分，就是涉及到積分區間，一側或兩側出現無窮的情況； 　　暇積分：就是積分區間中有間斷點的積分。 　　無論是廣義積分，還是暇積分，積分方法與定積分沒有差別,反常積分就是定積分，反常積分與一般的定積分的區別在于：積分后必須取極限才能得到結果。

十、勒貝格積分與黎曼積分區別與聯系

包裹與快件的區別，包裹是由郵局派送的包件，快件是快遞公司，通過鐵路，公路和空運的方式迅速對客戶的貨物進行投遞